プログラミング講座 (200) 3次ベジエ曲線

2次ベジエ曲線は n = 0.5 のスーパー楕円や放物線が描けることが判りました。3次ベジエ曲線は両端と2つの制御点で描く曲線ですが、どんな曲線が描けるのでしょうか。

3次ベジエ曲線で描ける曲線

まず y = x³ – x が描けるかやってみました。

プログラムはこちらに公開しました。y = ax³ + bx² + cx + d という形の3次曲線は描けそうです。その他に3次曲線の仲間がいろいろあるのですが、試してみたところ |x/a|^1/3 + |y/b|^1/3 = 1 という式のスーパー楕円、y² = ax³ という式の半3次放物線、y² = x³ +3x² という式のチルンハウス3次曲線は描けることが判りました。

3次ベジエ曲線は2次ベジエ曲線を含む

なお、3次ベジエ曲線は2次ベジエ曲線を含んでいるので、制御点をうまく配置すれば2次ベジエ曲線と同じ曲線が描けます。

3次ベジエ曲線で描けない曲線

こちらも色々試しました。n = 1, n = 1/2, n = 1/3 以外のスーパー楕円は描けません。n = 2 のとき楕円（円）も近似するしかありません。双曲線 y = x^-1 も描けません。デカルトの葉曲線 (folium of Descartes) x³ + y³ = 3axy も描けません。サイクロイド (cycloid) x = a(θ – sinθ), y = a(1 – cosθ) も描けませんでした。

あと、試していないのですが、描けなさそうなのが、シッソイド (cissoid of Diocles) (x² + y²)x = 2ay² や アーネシの曲線 (witch of Agnesi) (x² +c²)y – c³ = 0 です。xy の項があると双曲線 (xy = 1) と同様描けないんだと思います。

関連項目

• プログラミング講座 (198) スーパー楕円
• プログラミング講座 (197) 2次ベジエ曲線
• プログラミング講座 (196) 直線の方程式
• プログラミング講座 (190) Small Basic オンライン
• プログラミング講座 目次